Question

【题目】阅读下面材料：
小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=

小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：tan22.5°= ．
参考小天思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．

Answer 1

【答案】 ﹣1；解: 如图3,延长BA到D,使AD=AB,则AB=AD=AC,∴∠D=∠ACD,∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°, ∴∠D=15°,作CH⊥AB于H,设CH=x,则AC=2x,AH= x,∴AD=AC=2x,∴DH=AD+AH=（2+ ）x,在Rt△DCH中,tanD= ,即tan15°=2﹣
【解析】如图2，设CD=CA=a，则AD= a，

∵∠B=22.5°，∠ADC=45°，

∴∠DAB=22.5°，

∴∠DAB=∠B，

∴DB=DA= a，

∴BC=BD+CD=（ +1）a，

在Rt△ABC中，tanB= ，

即tan22.5°= ﹣1；

【考点精析】认真审题，首先需要了解三角形的外角(三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，还要掌握锐角三角函数的定义(锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数)的相关知识才是答题的关键．