Question

8．如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 首先判断出△ABE≌△DAF，即可判断出∠DAF=∠ABE，再根据∠ABE+∠BEA=90°，可得∠FAD+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△AGD中，根据勾股定理，求出DG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段DP的最小值为多少．

解答 解：如图：
，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF=AE，
又∵正方形ABCD中，AB=2，
∴AD=AB，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF．
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠FAD+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，
∵点P在运动中保持∠APB=90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=1．
在Rt△BCG中，DG=$\sqrt{A{G}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵PG=AG=1，
∴DP=DG-PG=$\sqrt{5}$-1
即线段DP的最小值为$\sqrt{5}$-1，
故答案为：$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了轨迹，解答此题的关键是判断出什么情况下，DP的长度最小，利用了了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．