Question

我们知道一个图形的性质和判定之间有着密切的联系．比如，由等腰三角形的性质“等边对等角”很易得到它的判定“等角对等边”．小明在学完“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”性质后，得到如下三个猜想：
（1）如果一个三角形一边的中线和这边上的高相互重合，则这个三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形；
（3）如果一个三角形一边的中线和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形．
我们运用线段垂直平分线的性质，很易证明猜想（1）的正确性．现请你帮助小明判断他的猜想（2）、（3）是否成立？若成立，请结合图形，写出已知、求证和证明过程；若不成立，请举反例说明．

Answer 1

解：（2）、（3）都正确．
（2）已知：在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
求证：AB=AC
证明：∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD，
∵AD=AD，
∴△CAD≌△BAC（ASA）
∴AB=AC，

（3）已知：在△ABC中，CD=BD，AD平分∠BAC，
求证：AB=AC
证明：作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵CD=BD，
∴Rt△CED≌Rt△BFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
分析：（2）首先根据命题写出已知，求证，然后根据题意，推出△CAD≌△BAC，即可推出AB=AC，（3）首先根据命题写出已知，求证，画出图形，然后，作出辅助线作DE⊥AC，DF⊥AB，根据条件推出Rt△CED≌Rt△BFC，即可推出∠B=∠C，根据△ABC内，等角对等边，即可推出AB=AC．
点评：本题主要考查等腰三角形的性质、根据命题写已知、求证，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的等性质定理，关键在于根据命题写出已知、求证、画出图形．