Question

16．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax²+bx+c经过O、A、E三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求AD的长；
（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）设AD=x，利用折叠的性质可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得AD的长；
（3）由于O、A两点关于对称轴对称，所以连接OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），
∴A（10，0），
又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得
$\left\{\begin{array}{l}{100a+10b+c=0}\\{36a+6b+c=8}\\{c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x；
（2）由题意可知：AD=DE，BE=10-6=4，AB=8，
设AD=x，则ED=x，BD=AB-AD=8-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED²=EB²+BD²，即x²=4²+（8-x）²，解得x=5，
∴AD=5；
（3）∵y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x，
∴其对称轴为x=5，
∵A、O两点关于对称轴对称，
∴PA=PO，
当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，
如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，

由（2）可知D点的坐标为（10，5），
设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线OD解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
令x=5，可得y=$\frac{5}{2}$，
∴P点坐标为（5，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想．在（2）中注意方程思想的应用，在（3）中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键．本题考查知识点虽然较多，但题目属于基础性的题目，难度不大．