Question

7．已知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若线段CD=2，且CD∥AB，则AD的长度等于$\sqrt{13}$或3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①延长BC、AD交于点M，由平行线证出△DCM∽△ABN，得出$\frac{DN}{AN}=\frac{CN}{BN}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，得出CN=BC=3，AD=DN=$\frac{1}{2}$AN，求出BN=6，由勾股定理求出AN，即可得出AD的长度；
②设AD交BC于O，由平行线证明△COD∽△BOA，得出$\frac{OC}{OB}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，求出OC=1，OB=2，由勾股定理求出OD和OA，即可得出AD的长度．

解答 解：分两种情况：
①如图1所示：延长BC、AD交于点M，
∵CD∥AB，
∴△DCM∽△ABN，
∴$\frac{DN}{AN}=\frac{CN}{BN}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴CN=BC=3，AD═$\frac{1}{2}$AN，
∴BN=6，
∵∠ABC=90°，
∴AN=$\sqrt{A{B}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴AD=$\sqrt{13}$；
②如图2所示：
设AD交BC于O，
∵CD∥AB，∠ABC=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=3，
∴OC=1，OB=2，
∴OD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OA=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AD=OA+OD=3$\sqrt{5}$；
综上所述：AD的长度等于$\sqrt{13}$或3$\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{13}$或3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．