Question

如图：M为Rt△ABC斜边BC的中点，P、Q分别在边AB、BC上，且BP=5，CQ=3，PM⊥QM，则PQ=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：延长QM至D，是DM=QM，连接BD、PD，然后利用“边角边”证明△CMQ和△BMD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CQ，全等三角形对应角相等可得∠DBM=∠C，然后求出∠PBD=90°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PD=PQ，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解

解答：解：延长QM至D，使DM=QM，连接BD、PD，
∵M是边BC的中点，
∴BM=CM，
在△CMQ和△BMD中，

BM=CM ∠CMQ=∠BMD DM=QM

，
∴△CMQ≌△BMD（SAS），
∴BD=CQ，∠DBM=∠C，
在△ABC中，∵∠A=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBM+∠ABC=90°，
即∠PBD=90°，
又∵PM⊥QM，DM=QM，
∴PD=PQ，
∵BP=5，CQ=3，
∴在Rt△PBD中，根据勾股定理，PD=

PB2+BD2

=

52+32

=

34

，
即PQ=

34

．
故答案为：

34

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线，构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．