Question

如图，抛物线y=-

1

2

x2+

3

2

x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）点P为AB上的动点（点A、O、B除外），过点P作直线PN⊥x轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M．设点P到原点的值为t，MN的长度为s，求s与t的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，试求出在点P运动的过程中，由点O、P、N围成的三角形与Rt△COB相似时点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）分别令y=0、x=0即可以求出A、B、C的坐标，
（2）应分为点P在y轴的左侧和点P在y轴的右侧两种情况，分别求s与t的函数关系式，MN的长就是M、N两点纵坐标的差，
（3）在没有确定对应关系的情况下，两三角形相似应分两种情况讨论解决．

解答：解：（1）∵点A、B、C在二次函数图象上
∴把x=0代入y=-

1

2

x2+

3

2

x+2，得y=2
把y=0代入y=-

1

2

x2+

3

2

x+2，得x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），C（0，2）代入，得

4k+b=0 b=2

，

k=- 1 2 b=2

∴直线BC的解析式为y=-

1

2

x+2
∵OP=t
∴P（t，0），M（t，-

1

2

t+2），N（t，-

1

2

t²+

3

2

t+2），
如图，

∴S₁=N₁P₁-M₁P₁=-

1

2

t²+

3

2

t+2-（-

1

2

t+2）=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4），
S₂=M₂P₂-N₂P₂=-

1

2

t+2-（-

1

2

t²+

3

2

t+2）=

1

2

t²-2t（-1＜t＜0），
（3）如图，

①若△OPN∽△OCB，当OP与OC是对应边时，则

OP

OC

=

NP

BO

，即

t

2

=

- 1 2 t2+ 3 2 t+2

4

化简得：t²+t-4=0，
解得：t1=

-1+ 17

2

，t2=

-1- 17

2

（不合题意，舍去）
②若△OPN∽△OBC，当OP与OB是对应边时，则

OP

OB

=

PN

CO

，即

t

4

=

- 1 2 t2+ 3 2 t+2

2

化简得：t²-2t-4=0
解得：t₃=1+

5

，t₄=1-

5

（不合题意，舍去）
∴符合题意的点P的坐标为（

-1+ 17

2

，0）和（1+

5

，0）．

关键词：二次函数与一元二次方程、相似三角形、二次函数的应用、数形结合思想、分类讨论思想．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题，涉及二次函数与一元二次方程、相似三角形、二次函数的应用等知识，解题的关键是数形结合思想、分类讨论思想．