Question

关于x的方程x²-（k-2）x+6=0．
（1）若该方程有一根，求方程的另一根及k的值；
（2）是否存在实数k，使该方程的两个根的平方和等于4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：如果x₁，x₂的两根，那么有x₁+x₂=-，x₁x₂=．）

Answer 1

【答案】分析：（1）首先设方程的另一根为α，然后根据根与系数的关系即可求得α的值，继而求得k的值；
（2）首先设x₁，x₂是x²-（k-2）x+6=0方程的两个实数根，根据根与系数的关系，即可得x₁+x₂=k-2，x₁•x₂=6，又由方程的两个根的平方和等于4，即可得方程（k-2）²-2×6=4，继而求得k的值．
解答：解：（1）设方程的另一根为α，
∵该方程有一根3+，
∴（3+）α=6，
解得：α=3-，
∴k-2=（3+）（3-）=6，
解得：k=8；
∴方程的另一根为：3-，k的值为6；

（2）存在．
设x₁，x₂是x²-（k-2）x+6=0方程的两个实数根，
则x₁+x₂=k-2，x₁•x₂=6，
∵方程的两个根的平方和等于4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k-2）²-2×6=4，
解得：k=6或k=-2．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系．此题难度适中，注意掌握如果x₁，x₂的两根，那么有x₁+x₂=-，x₁x₂=是解此题的关键．