Question

7．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A 在x轴上，点C在y轴上，OC=4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3，0），过点 N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．连接OB，D为OB上动点，作DQ∥x轴交BA于点Q，以DQ为边，向下作正方形DQHI，设点D的横坐标为t．
（1）求点G的坐标及折痕EF所在直线的解析式．
（2）点D从点O运动到点B的过程中，正方形DQHI与△OAB重叠的面积S与t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围．
（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△EMG中，根据EM=1，EC=EG=2，推出∠EGM=30°，由此即可求出MG，求出点G坐标，再在Rt△CFE中，证明∠CFE=30°，即可求出点F坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形①如图1中，当0＜t≤2时，重叠部分是四边形DQAK．②如图2中，当2＜t＜4时，重叠部分是正方形DQHI．分别求解即可．
（3）如图3中，分四种情形求解即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCO是正方形，
∴BC=OA=4，
∵E为CB中点，
∴EB=2，
∵MN∥y轴，N（3，0），
∴MN⊥EB且MB=NA=1，
∴EM=1，
而EG=EC=2，
∴sin∠EGM=$\frac{EM}{EG}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EGM=30°，
∴MG=EGcos30°=$\sqrt{3}$，
∴G（3，4-$\sqrt{3}$）；
∵∠EGM=30°，
∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60°，
∴CF=CEtan60°=2 $\sqrt{3}$，
∴FO=4-2 $\sqrt{3}$，
∴F（0，4-2 $\sqrt{3}$），E（2，4），
设直线EF的解析式：y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{b=4-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=4-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴折痕EF所在直线解析式：y=$\sqrt{3}$x+4-2 $\sqrt{3}$；

（2）①如图1中，当0＜t≤2时，重叠部分是四边形DQAK．

S=DK•AK=t（4-t）=-t²+4t．

②如图2中，当2＜t＜4时，重叠部分是正方形DQHI．

S=DQ²=（4-t）²，
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+4t}&{（0＜t≤2）}\\{（4-t）^{2}}&{（2＜t＜4）}\end{array}\right.$．
（3）如图3中，

当FG=FP₁时，∵FG=FC=2$\sqrt{3}$，∠OFP₁=30°，可得P₁（-$\sqrt{3}$，1-2$\sqrt{3}$），
当P₂F=P₂G时，∵∠P₂FG=∠P₂GF=30°，△P₂EG是等边三角形，可得P₂（1，4-$\sqrt{3}$），
当FG=FP₃时，∵FG=FP₃=2$\sqrt{3}$，∠GFP₃=30°，可得P₃（$\sqrt{3}$，7-2$\sqrt{3}$），
当GF=GP₄时，G、M、P₄共线，易知P₄（3，4+$\sqrt{3}$），
综上所述，满足条件的点P坐标为（-$\sqrt{3}$，1-2 $\sqrt{3}$）或（1，4-$\sqrt{3}$）或（ $\sqrt{3}$，7-2 $\sqrt{3}$）或（3，4+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查四边形综合运用、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理，直角三角形30度角性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是会灵活的运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．