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如图,圆内接四边形ABDC,AB是⊙O的直径,OD⊥BC于E.

(1)求证:∠BCD=∠CBD;

(2)若BE=4,AC=6,求DE的长.

 

【答案】

(1)详见解析;(2)2.

【解析】

试题分析:(1)由题目条件OD⊥BC于E,可知OD平分弧BC(垂径定理),即弧BD=弧CD,∠BCD是弧BD所对的圆周角,∠CBD是弧CD所对的圆周角,由圆周角定理,同弧或等弧所对的圆周角相等可以得到∠BCD=∠CBD;(2) 由题目条件OD⊥BC于E,可知OD平分弦BC(垂径定理),即BE= CE=4,所以BC=8,因为AB是⊙O的直径,所以∠C为直角,在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,由勾股定理,AB=10,OB=5,在Rt△OEB中,OB=5,BE=4,由勾股定理,OE=3,DE=OD-OE=2.

试题解析:(1)∵OD⊥BC于E,

∴OD平分弧BC(垂径定理),即弧BD=弧CD,

又∵∠BCD是弧BD所对的圆周角,∠CBD是弧CD所对的圆周角,

由圆周角定理知∠BCD=∠CBD.

(2) ∵OD⊥BC于E,

∴OD平分弦BC(垂径定理),即BE= CE=4,BC=8,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠C为直角,

在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,由勾股定理,AB=10,OB=5,

在Rt△OEB中,OB=5,BE=4,由勾股定理,OE=3,DE=OD-OE=2.

考点:1.圆周角定理和垂径定理;2.垂径三角形三边的关系.

 

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