Question

（1）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=

1

2

BC．求证：∠BAC=90°．
（2）此题实际上是直角三角形的另一个判断定理，请你适当的方法表达出来．
（3）直接运用这个结论解答下面问题：在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=2，AD=1，AB+AC=1+

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据中线的定义可得AD=BD=DC，再根据等边对等角可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，然后根据三角形内角和定理列式求解得到∠BAD+∠CAD=90°，从而得证；
（2）根据条件与结论写出即可；
（3）先求出∠BAC=90°，再根据勾股定理列式求出AB²+AC²，然后利用完全平方公式求出AB•AC，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AD=

1

2

BC，
∴AD=BD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
即∠BAC=90°；

（2）解：根据题意用语言表述为：如果三角形一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

（3）∵AD是BC边上的中线，BC=2，AD=1，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得，AB²+AC²=BC²=2²=4，
∵AB+AC=1+

3

，
∴AB²+2AB•AC+AC²=（1+

3

）²=4+2

3

，
∴AB•AC=

3

，
S_△ABC=

1

2

AB•AC=

3

2

．

点评：本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质与判定，等腰三角形的性质，完全平方公式，理解题意并证明出直角三角形的判定定理是解题的关键，也是本题的难点．