Question

11．如图，矩形ABCD中，E为BC边上一点，且AE⊥DE．将线段AE绕A点逆时针旋转90°，得到线段AF．连接EF，交AD于点M，连接DF．若BE=1，EF=2$\sqrt{5}$，则点M到DF的距离为$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质求得AE、AF，利用勾股定理放得出AB，证得△ABE∽△ECD，得出CE，进一步得出BC、DE；再由AF∥DE，利用平行线分线段成比例求得DM；过点F作FN⊥AD，点M作MH⊥DF，由△FAN≌△ABE得出AN，FN，求得DN，利用三角形DMF的面积建立方程求得答案即可．

解答 解：如图，

∵将线段AE绕A点逆时针旋转90°，得到线段AF，
∴AE=AF，∠FAE=90°，
∵EF=2$\sqrt{5}$，
∴AE=AF=$\sqrt{10}$，
∵BE=1，
∴AB=3，
∵AE⊥DE，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECD，
∴$\frac{BE}{DC}$=$\frac{AB}{EC}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{EC}$，
∴EC=9，则DE=3$\sqrt{10}$，BC=10，
∵AF∥DE，
∴$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AM}{DM}$=$\frac{1}{3}$，
∴DM=$\frac{15}{2}$，
过点F作FN⊥AD，点M作MH⊥DF，
在△FAN和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FNA=∠B}\\{∠FAN=∠BAE}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△FAN≌△ABE，
∴FN=BE=1，AN=AB=3，则DN=7，
∴DF=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×DM•FN=$\frac{1}{2}$×DF•MH，
即$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{2}$×1=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×MH，
MH=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$，
∴点M到DF的距离为$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$．

点评 此题考查考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，知识综合性强，解答注意给出的条件，灵活选用适当的方法解决问题