Question

如图所示，已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，弦AE与CD相交于点F，则有结论AD²＝AE·AF成立(为什么？)．

(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切于点B时(如图所示)，AE·AF是否等于AG²？如果不相等，请探求AE·AF等于哪两条线段的积？并给出证明．

(2)当CD继续向下平移至与⊙O相离时(如图所示)，在(1)中探求的结论是否还成立？并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

证明：连接DE． 　　因为CD⊥AB，AB是直径， 　　所以＝， 　　所以∠ADC＝∠AED． 　　又因为∠DAF＝∠EAD， 　　所以△ADF∽△AED， 　　所以＝， 　　所以AD2＝AE·AF． 　　(1)AE·AF不等于AG2，应该有结论AE·AF＝AG·AH． 　　证明：连接BE，BG． 　　因为AB是直径，AB⊥CD， 　　所以∠AEB＝∠AGB＝∠ABF＝∠ABH＝． 　　因为∠AEB＝∠ABF，∠BAE＝∠FAB， 　　所以△ABE∽△AFB， 　　所以＝， 　　所以AE·AF＝AB2． 　　同理可证AG·AH＝AB2． 　　所以AE·AF＝AG·AH． 　　(2)在(1)中探求的结论还成立．证明如下： 　　连接EG，BG． 　　因为AB是直径，AB⊥CD于M， 　　所以∠AGB＝∠AMF＝， 　　所以∠AFM＋∠FAM＝∠AGE＋∠BGE＝． 　　因为∠FAM＝∠BGE， 　　所以∠AFM＝∠AGE． 　　又∠FAH＝∠GAE， 　　所以△AFH∽△AGE， 　　所以＝， 　　所以AE·AF＝AG·AH．