Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）
（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是

 

度和

 

度；
（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；
（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有

 

个等腰三角形，其中有

 

个黄金等腰三角形．

Answer 1

考点：作图—应用与设计作图,黄金分割

专题：作图题,探究型

分析：（1）利用等腰三角形的性质以及∠A的度数，进而得出这2个等腰三角形的顶角度数；
（2）利用（1）种思路进而得出符合题意的图形；
（3）利用当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形，进而得出规律求出答案．

解答：解：（1）如图1所示：∵AB=AC，∠A=36°，
∴当AE=BE，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，
则∠EBC=36°，
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；
故答案为：108，36；

（2）如图2所示：

（3）如图3所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；
当2条直线可得到4个等腰三角形；
当3条直线可得到6个等腰三角形；
…
∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．
故答案为：2n，n．

点评：此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形的规律是解题关键．