Question

6．如图，在菱形ABCD中，∠BAC=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①OG=$\frac{1}{2}$AB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S_{四边形CDGF}＞S_△ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．

Answer 1

分析 由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，①正确；
先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确；
由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；
证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG=$\frac{1}{2}$AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S_{四边形ODGF}=S_△ABF；③不正确；即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠EDG}&{\;}\\{∠AGB=∠DGE}&{\;}\\{AB=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=AG}&{\;}\\{∠ODC=∠BAG=60°}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG=$\frac{1}{2}$AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积=$\frac{1}{4}$△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S_{四边形ODGF}=S_△ABF；不正确；
正确的是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．