Question

如图，AB是⊙O的直径，延长弦BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，延长ED交AB延长线于点F，求阴影部分的面积．

Answer 1

（1）
直线DE与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
直线DE是⊙O的切线，
即直线DE与⊙O的位置关系是相切；

（2）∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠DOB=∠A=60°，
∵DE是⊙O切线，
∴∠ODF=90°，
∴∠F=30°，
∴FO=2OD=12，
由勾股定理得：DF=6

3

，
∴阴影部分的面积S=S_△ODF-S_扇形DOB=

1

2

×6×6

3

-

60π×62

360

=18

3

-6π．