试题分析: 解:(1)∵抛物线
经过
A(2,0),
∴
,
解得
,
∴抛物线的解析式为
.
将抛物线配方,得
,
∴顶点
P的坐标为(4,-2
).
令
y=0,得
,解得
.
∴点
B的坐标是(6,0).
(2)在直线
y=x上存在点
D,使四边形
OPBD为平行四边形.
理由如下:设直线
PB的解析式为
+
b,把
B(6,0),
P(4,-2
)分别代入,得
解得
∴直线
PB的解析式为
.
又∵直线
OD的解析式为
,∴直线
PB∥
OD.
解法一:设直线
OP的解析式为
,把
P(4,-2
)代入,得
,解得
.
如果OP∥BD,那么四边形
OPBD为平行四边形.
设直线
BD的解析式为
,将
B(6,0)代入,得0=
,
∴
∴直线
BD的解析式为
,解方程组
得
∴D点的坐标为(2,2
)
解法二:过点
P作
x轴的垂线,垂足为点
C,则
PC=2
,
AC=2,
由勾股定理,可得
AP=4,
PB=4,又∵
AB=4,∴△
APB是等边三角形∠PBA=∠DOB=60°,
设点D的坐标为(
,
),得
=
,
∴D点的坐标为(2,2
)
(3)符合条件的点
M存在.
验证如下:过点
P作
x轴的垂线,垂足为点
C,则
PC=2
,
AC=2,
由勾股定理,可得AP=4,PB=4,
又∵AB=4,∴△APB是等边三角形,作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP,
∴△AMP≌△AMB.
因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.
点评:本题难度较大,主要考查学生对一次函数和抛物线综合运用解决几何问题的能力,为中考常考题型,注意培养数形结合思想分析能力,并运用到考试中去。