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已知抛物线 经过A(2,0). 设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B

(1)求b的值和点PB的坐标;
(2)如图,在直线上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.
(1)顶点P的坐标为(4,-2)点B的坐标是(6,0). (2)存在;D点的坐标为(2,2)(3)可通过证明AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP,证明△AMP≌△AMB.

试题分析: 解:(1)∵抛物线经过A(2,0),
,         
解得
∴抛物线的解析式为
将抛物线配方,得
∴顶点P的坐标为(4,-2).          
y=0,得,解得.
∴点B的坐标是(6,0).      
(2)在直线 y=x上存在点D,使四边形OPBD为平行四边形.
理由如下:设直线PB的解析式为+b,把B(6,0),P(4,-2)分别代入,得 
解得 
∴直线PB的解析式为.       
又∵直线OD的解析式为,∴直线PBOD.
解法一:设直线OP的解析式为,把P(4,-2)代入,得,解得.
如果OP∥BD,那么四边形OPBD为平行四边形.     
设直线BD的解析式为,将B(6,0)代入,得0=
        
∴直线BD的解析式为,解方程组
∴D点的坐标为(2,2)    
解法二:过点Px轴的垂线,垂足为点C,则PC=2AC=2,
由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又∵AB=4,∴△APB是等边三角形∠PBA=∠DOB=60°,
设点D的坐标为(),得=,
∴D点的坐标为(2,2
(3)符合条件的点M存在.            
验证如下:过点Px轴的垂线,垂足为点C,则PC=2AC=2,
由勾股定理,可得AP=4,PB=4,      
又∵AB=4,∴△APB是等边三角形,作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP,             
∴△AMP≌△AMB.
因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.            

点评:本题难度较大,主要考查学生对一次函数和抛物线综合运用解决几何问题的能力,为中考常考题型,注意培养数形结合思想分析能力,并运用到考试中去。
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(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线上;                        
(2)求此抛物线的解析式;                                          
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