Question

10．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点（不与A、B重合），DF⊥DE交AC于F．设BE=x，FC=y．
（1）求证：DE=DF．
（2）写出y关于x的函数关系式，并写出x的定义域．
（3）写出x为何值时，EF∥BC？

Answer 1

分析 （1）过D作DH⊥AB交AB于H，DN⊥AC交AC于N．根据三角形中位线的性质可得DH=DN，根据余角的性质可得∠EDH=∠FDN，根据ASA可证△EDH≌△FDN，根据全等三角形的性质即可证明DE=DF；
（2）根据全等三角形的性质可得HE=NF，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域；
（3）连接HN，根据三角形中位线的性质可得x为1时，EF∥BC．

解答 解：（1）过D作DH⊥AB交AB于H，DN⊥AC交AC于N．
∵∠A=90°，点D是BC边的中点，
∴DN∥AB，DN=$\frac{1}{2}$AB，DH∥AC，DH=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=AC=2，
∴DH=DN=1，
∴∠NDH=90°，
∵∠NDF+∠NDE=90°，∠NDE+EDH=90°，
∴∠EDH=∠FDN，
在△EDH与△FDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDH=∠FDN}\\{DH=DN}\\{∠EHD=∠FND}\end{array}\right.$，
∴△EDH≌△FDN（ASA），
∴DE=DF；
（2）∵△EDH≌△FDN，
∴HE=NF，
∴x-$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC-y，即y=2-x，
∵E是AB边上的一个动点（不与A、B重合），
∴0＜x＜2；
（3）连接HN，当E与H重合时，EF∥BC，
∵此时x=BH=1，
∴当x=1时，EF∥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明△EDH≌△FDN是关键．