Question

9．如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
其中正确的有（　　）

• A． ①③⑤
• B． ①③④⑤
• C． ①②③⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 ①根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出AD=BE．
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△ACP≌△BCQ，即可判断出CP=CQ；然后根据∠PCQ=60°，可得△PCQ为等边三角形，所以∠PQC=∠DCE=60°，据此判断出PQ∥AE即可．
③根据全等三角形的判定方法，判断出△ACP≌△BCQ，即可判断出AP=BQ．
④首先根据DC=DE，∠PCQ=∠CPQ=60°，可得∠DPC＞60°，然后判断出DP≠DC，再根据DC=DE，即可判断出DP≠DE．
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，据此判断即可．

解答 解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD≌△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∴结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACP=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACP=∠BCQ}\\{∠CAP=∠CBQ}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCQ，
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
∴结论②正确．
在△ACP和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACP=∠BCQ}\\{∠CAP=∠CBQ}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴结论③正确．
∵DC=DE，∠PCQ=∠CPQ=60°，
∴∠DPC＞60°，
∴DP≠DC，
又∵DC=DE，
∴DP≠DE，
∴结论④不正确．
∵∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，
∴结论⑤正确．
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故选：C．

点评 （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）此题还考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等边三角形的内角都相等，且为60度；②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合．③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高或所对角的平分线所在的直线．