Question

12．已知：如图1，D是∠BAC的平分线和∠ABC的外角平分线的交点，过点D作EF∥AB交BC于点E，交AC于点F．
（1）求证：EF=AF-BE．
（2）如图2，当D是∠BAC的平分线和∠ABC的平分线的交点时，直接写出线段EF、BE、AF满足的关系式（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质，得到∠ADF=∠BAD，根据AD平分∠BAC，得到∠FAD=∠BAD，根据等角对等边可得DF=AF，同理可得DE=BE，所以EF=DF-DE=AF-BE；
（2）由于BD平分∠ABC得到∠EBD=∠DBC，根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，可得∠EDB=∠EBD，由等腰三角形的判定可得DE=BE，同理可得AF=DF，求得结果BE+AF=EF．

解答 （1）证明：如图1，∵EF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠BAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴DF=AF，
同理：DE=BE，
∴EF=DF-DE=AF-BE；

（2）EF=AF+BE．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴DE=BE，
同理AF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+AF，
即BE+AF=EF．

点评 本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．