【题目】已知是等腰直角三角形,,点是的中点,延长至点,使,连接(如图①).
(1)求证:≌;
(2)已知点是的中点,连接(如图②).
①求证: ≌;
②如图③,延长至点,使,连接,求证:.
【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②见解析.
【解析】
(1)由点M是AC中点知AM=CM,结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证;
(2)①由点M,N分别是AC,BC的中点及AC=BC可得CM=CN,结合∠C=∠C和BC=AC即可得证;
②过点作交于点,得∠NAC=∠AEF,由(1)可知,则可证,可证≌,据此知,再证,又得,又因为,从而得,即可得证.
(1)∵是中点
∴
又∵
∴在与中
∴≌()
(2)① 是等腰直角三角形
∴
∵ 是中点,是中点
∴ ,
∴
又∵
∴在与中
∴≌()
② 过点作交于点
∵
∴
由(1)可知≌
∴ ,
∴
∴
在和中
∴ ≌()
∴ ,,
∵ 为中点
∴ 为中点
∴ 垂直平分
∴
∴
∵
∴
∵
∴
即
∴
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发,以1cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,取AF、CE的中点G、H,连接GE、FH.设运动的时间为ts(0<t<4).
(1)求证:AF∥CE;
(2)当t为何值时,四边形EHFG为菱形;
(3)试探究:是否存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中, , °,点D是线段BC上的动点,将线段AD绕点A顺时针旋转50°至,连接.已知AB2cm,设BD为x cm,B为y cm.
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小明的探究过程,请补充完整.(说明:解答中所填数值均保留一位小数)
(1)通过取点、画图、测量,得到了与的几组值,如下表:
0.5 | 0.7 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.3 | ||
1.7 | 1.3 | 1.1 | 0.7 | 0.9 | 1.1 |
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
线段的长度的最小值约为__________ ;
若 ,则的长度x的取值范围是_____________.
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【题目】古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究:如图(图1中为锐角,图2中为直角,图3中为钝角).
在△ABC的边BC上取, 两点,使,则∽∽, , ,进而可得 ;(用表示)
若AB=4,AC=3,BC=6,则 .
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【题目】如图所示,在中,是平分线,的垂直平分线分别交延长线于点.求证:.
证明:∵平分
∴ (角平分线的定义)
∵垂直平分
∴ (线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等)
∴( )
∴(等量代换)
∴( )
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【题目】点P(t,0)是x轴上的动点,Q(0,2t)是y轴上的动点.若线段PQ与函数y=﹣|x|2+2|x|+3的图象只有一个公共点,则t的取值是_____________.
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【题目】一自动喷灌设备的喷流情况如图所示,设水管OA在高出地面1.5米的A处有一自动旋转的喷水头,一瞬间流出的水流是抛物线状,喷头A与水流最高点B连线与y轴成45°角,水流最高点B比喷头A高2米.
(1)求水流落地点C到O点的距离;
(2)若水流的水平位移s(米)(抛物线上两对称点之间的距离)与水流的运动时间(t秒)之间的函数关系为t= 0.8s,求共有几秒钟,水流高度不低于2米?
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【题目】如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=,BE=.求CD的长和四边形ABCD的面积.
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【题目】如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为( )
A. (0,0) B. (,) C. (,) D. (,)
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