Question

12．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得△DBE，连接CD，若AB=AC=5，BC=6，则CD=$4+3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接CE，设BE、CD交于点O．先判定△DEC≌△DBC（SSS），得到∠1=∠2．再判定△DEO≌△DNO（SAS），即可得出∠DOE=∠DOB=90°，进而得到等腰△BDE中，O为BE中点，即$OE=\frac{1}{2}BE=3$，最后根据勾股定理求得DO，CO的长即可．

解答 解：如图，连接CE，设BE、CD交于点O．
由旋转得BE=BE=6，
∵∠CBE=60°，
∴△CBE为等边三角形，
∴CE=CB，
∵△BDE中，DE=DB，
∴△DEC和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}DE=DB\\ EC=BC\\ DC=DC\end{array}\right.$．
∴△DEC≌△DBC（SSS），
∴∠1=∠2．
又∵△DEO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}DE=DB\\∠1=∠2\\ DO=DO\end{array}\right.$，
∴△DEO≌△DNO（SAS）．
∴∠DOE=∠DOB=90°，
∴等腰△BDE中，O为BE中点，
∴$OE=\frac{1}{2}BE=3$，
∴Rt△DOE中，$DO=\sqrt{{5^2}-{3^2}}=4$，
Rt△COE中，$CO=\sqrt{{6^2}-{3^2}}=3\sqrt{3}$．
∴$DC=DO+CO=4+3\sqrt{3}$．
故答案为：$4+3\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解本题的关键是判断出DC是线段BE的垂直平分线．