Question

已知关于x的方程x²+（2k-1）x+k²=0的两根x₁、x₂满足x₁²-x₂²=0．若直线y=kx（x＞0）上有一点M，过M作MP⊥x轴于P．若OM=

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①求k的值．  ②求点M的坐标．

Answer 1

分析：①由关于x的一元二次方程有根，得到根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，然后利用根与系数的关系表示出x₁+x₂，把x₁²-x₂²=0等号左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，得到x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，当x₁+x₂=0时，表示出的两根之和为0，求出k的值，利用k的范围检验不合题意，舍去；当x₁-x₂=0时，方程有两个相等的实数根，求出此时k的值即可；
②由第一问求出的k值确定出直线y=kx的方程，设出M的坐标为（a，b），由题意得到a与b都大于0，把M的坐标代入直线方程，得到a与b的方程，记作①，又三角形OMP为直角三角形，由OM，OP及PM的上，利用勾股定理表示出a与b的令一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而确定出M的坐标．

解答：解：①由方程的两个实数根为x₁、x₂，
得到b²-4ac=（2k-1）²-4k²≥0，解得：k≤

1

4

，
∴x₁+x₂=-（2k-1）=1-2k，
∵x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∴x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，
当x₁+x₂=0，即1-2k=0，解得：k=

1

2

（不合题意，舍去）；
当x₁-x₂=0，即x₁=x₂，可得b²-4ac=（2k-1）²-4k²=0，
整理得：4k=1，解得：k=

1

4

；

②设M的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
∵直线的方程为y=

1

4

x过此点，
∴把此点代入直线方程得：b=

1

4

a，即a=4b，①
又∵△OMP为直角三角形，OM=

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，OP=a，MP=b，
根据勾股定理得：OM²=OP²+MP²，即a²+b²=17，②
①代入②得：16b²+b²=17，即b²=1，
解得：b=1或b=-1（舍去），
把b=1代入①得：a=4，
则M的坐标为（4，1）．

点评：此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，不解方程判断方程解的情况，勾股定理，以及一次函数的性质，注意第一小问k的值有两解，应根据根的判别式作出取舍．