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    如图，点A、B分别表示2个居民小区．
    （1）若直线l表示公交通道，要在其旁建1个公交车站，且使从该站到2个小区的路程相等，应如何确定车站的位置？请用直尺和圆规，在图①中画出，不写作法，保留作图痕迹．
    （2）若直线l表示燃气管道，要在其旁建1个泵站，且使从该站向2个小区输气的管道总长最短，应如何确定泵站的位置？请在图②中画出，作图工具不限，保留作图痕迹．
    分析：（1）作出AB的垂直平分线，与l的交点就是公交车站位置；
    （2）首先作出A关于l的对称点A′，连接A′B于l的交点就是泵站位置．
    解答：解：如图所示：
    ．
    图①中P点就是公交车站；图②中P点就是泵站．
    点评：此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法，以及过直线外一点作已知直线的垂线的方法．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=
    1
    4
    x2于点A、B，交抛物线C2：y=
    1
    9
    x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．
    【猜想与证明】
    填表：
    m 1 2 3
    AB
    CD
    		       
         
    由上表猜想：对任意m（m＞0）均有
    AB
    CD
    =
    2
    3
    2
    3
    ．请证明你的猜想．
    【探究与应用】
    （1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为
    2
    3
    2
    3
    ；
    （2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
    【联想与拓展】
    如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为
    8
    27
    8
    27
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=数学公式x2于点A、B，交抛物线C2：y=数学公式x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．
    【猜想与证明】
    填表：
    m123
    数学公式　 　
    　　
    由上表猜想：对任意m（m＞0）均有数学公式=______．请证明你的猜想．
    【探究与应用】
    （1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为______；
    （2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
    【联想与拓展】
    如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为______．

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    科目：初中数学 来源：2013年吉林省中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．
    【猜想与证明】
    填表：
    m123
          
         
    由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=______．请证明你的猜想．
    【探究与应用】
    （1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为______；
    （2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
    【联想与拓展】
    如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为______．

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    科目：初中数学 来源：2013年初中毕业升学考试（吉林卷）数学（解析版） 题型：解答题

    如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：于点A、B，交抛物线C2：于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．

    【猜想与证明】

    填表：

    m

    1

    2

    3

     

     

     

    由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=　  　．请证明你的猜想．

    【探究与应用】

    （1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为　  　；

    （2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；

    【联想与拓展】

    如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为　  　．

     

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在轴正半轴上，过点P作平行于轴的直线，分别交抛物线C1：于点A、B，交抛物线C2：于点C、D.原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD.

    猜想与证明   填表：

    m

    1

    2

    3

    由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=          .请证明你的猜想.

    探究与应用  （1）利用上面的结论，可得⊿AOB与⊿CQD面积比为          ；

    （2）当⊿AOB和⊿CQD中有一个是等腰直角三角形时，求⊿CQD与⊿AOB面积之差；

    联想与拓展  如图②过点A作轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作轴的平行线交抛物线C1于点F.在轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则⊿MAE与⊿MDF面积的比值为             .

     


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