Question

2．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上）．
（1）若△CEF与△ABC相似，①当AC=BC=2时，AD的长为$\sqrt{2}$．②AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形；
②若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF=3：4，如图1所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CF：CE=3：4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似．

解答 解：（1）若△CEF与△ABC相似．
当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如图1所示．
此时D为AB边中点，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$；
故答案为：$\sqrt{2}$；

②若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF=3：4，如图1所示．
∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AD=AC•cosA=3×$\frac{3}{5}$=1.8；
②若CF：CE=3：4，如图2所示．
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，
∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴D点为AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5=2.5．
综上所述，AD的长为1.8或2.5．
故答案为：1.8或2.5．

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似．理由如下：
如答图2所示，连接CD，与EF交于点Q．
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCB=∠B．
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEF∽△CBA．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．