Question

【题目】材料一：把一个自然数的个位数字截太再用余下的数加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大不易看出是否13的倍数，可重复上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止．例如，判断377是否13的倍数的过程如下：37+7×4＝65，65÷13＝5，所以，377是13的倍数；又例如判断8632是否13的倍数的过程如下：863+2×4＝871，87+1×4＝91，91÷13＝7．所以，8632是13的倍数．

材料二：若一个四位自然数n，满足千位与个位相同，百位与十位相同，我们称这个数为“对称数”．将“对称数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的n′，记F（n）＝，例如n＝3113，n′＝1331，（3113）＝＝18．

（1）请用材料一的方法判断1326与3366能否被13整除；

（2）若m、p是“对称数”，其中m＝ ，p＝（0≤b＜a≤5，1≤c＜a≤5且a，b，c均为整数），若m能被l3整除，且F（m）﹣F（p）＝36，求p．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)p＝2332．

【解析】

（1）由用材料一的方法进行判断即可；

（2）由m能被13整除，可得b=0，a=2或3或4或5，由“对称数”定义可得9（a-b）-9（c-a）=36，可求p的值．

解：（1）∵132+6×4＝156，15+6×4＝39，

∴1326能被13整除，

∵336+6×4＝360，36+0×4＝36，

∴3366不能被13整除；

（2）∵m能被13整除

∴100a+10b+b+4a＝104a+11b能被13整除

∴b＝0，

∵0≤b＜a≤5，1≤c＜a≤5，

∴a＝2或3或4或5，

∴F（m）＝＝9（a﹣b），

F（p）＝＝9（c﹣a），

∴9（a﹣b）﹣9（c﹣a）＝36，

∴2a﹣c＝4

当a＝2时，c＝0（舍去）；

当a＝3时，c＝2，2＜3；

∴p＝2332；

当a＝4时，c＝4（舍去）；

当a＝5时，c＝6（舍去）．

综上所述，p＝2332．