已知,如图①,∠MON=60°,点A,B为射线OM,ON上的动点(点A,B不与点O重合),且AB=,在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°.
(1)求AP的长;
(2)求证:点P在∠MON的平分线上;
(3) 如图②,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.
①当AB⊥OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值;
②若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围.
解: (1) 过点P作PQ⊥AB于点Q ∵PA=PB, ∠APB=120° AB=4
∴AQ=AB=×4=2 ∠APQ= ∠APB=×120°=60°在Rt△APQ中, sin∠APQ=∴AP= =sin60°=4
(2) 过点P分别作PS⊥OM于点S, PT⊥ON于点T∴∠OSP=∠OTP=90° 在四边形OSPT中,∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°
∴∠APB=∠SPT=120° ∴∠APS=∠BPT
又∵∠ASP=∠BTP=90° AP=BP
∴△APS≌△BPT ∴PS=PT
∴点P在∠MON的平分线上
(3) ①8+4 ②4+4<t≤8+4
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年上海市闸北区中考一模数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分14分 第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题6分)
已知:如图,在△ABC中,AB=AC=15, cos∠A=.点M在AB边上,AM=2MB,点P是边AC上的一个动点,设PA=x.
(1)求底边BC的长;
(2)若点O是BC的中点,联接MP、MO、OP,设四边形AMOP的面积是y,求y关于x的函数关系式,并出写出x的取值范围;
(3)把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN,是否可能使△MPN的一条边(折痕边PM除外)与AC垂直?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
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