如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点,点D是OC的中点,连接BD并延长,交AC于点E.
(1)说明:;
(2)当点C、点A到y轴距离相等时,求点E坐标.
(3)当的面积为
时,求
的值.
(1)理由见解析;(2)(,
);(3)2.
解析试题分析:(1)由y=0,得出的一元二次方程的解就是A、B两点的横坐标.由此可求出A、B的坐标。通过构建相似三角形求解,过O作OG∥AC交BE于G,那么可得出两组相似三角形:△GED∽△OGD、△BOG∽△BAE,可分别用这两组相似三角形得出OG与EC的比例关系、OG与AE的比例关系,从而得出CE、AE的比例关系.
(2)由已知可求C(2,8),再求AC所在直线解析式,根据△AEF∽△ACH可求E点坐标.
(3)由D是OC的中点可知S△OCE=2S△CDE,又由已知可求S△AOC=8,从而可求出CH、AH的值,从而可求的值.
试题解析:(1)令y=0,则有-x2+2x+8=0.
解得:x1=-2,x2=4
∴OA=2,OB=4.
过点O作OG∥AC交BE于G
∴△CEG∽△OGD
∴
∵DC=DO
∴CE=0G
∵OG∥AC
∴△BOG∽△BAE
∴
∵OB=4,OA=2
∴;
(2)由(1)知A(-2,0),且点C、点A到y轴的距离相等,
∴C(2,8)
设AC所在直线解析式为:y=kx+b
把 A 、C两点坐标代入求得k=2,b=4
所以y=2x+4
分别过E、C作EF⊥x轴,CH⊥x轴,垂足分别为F、H
由△AEF∽△ACH可求EF=,OF=
,
∴E点坐标为(,
)
(3)连接OE
∵D是OC的中点,
∴S△OCE=2S△CED
∵S△OCE:S△AOC=CE:CA=2:5
∴S△CED:S△AOC=1:5.
∴S△AOC=5S△CED=8
∴
∴CH=8
考点: 二次函数综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图1,已知A(3,0)、B(4,4)、原点O(0,0)在抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点D,求m的值及点D的坐标.
(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(,0)和An(bn,0).当n=1时,第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推.
(1) 求a1、b1的值及抛物线y2的解析式;
(2) 抛物线y3的顶点坐标为(____,___);依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____,_____)(用含n的式子表示);所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_____________;
(3) 探究下列结论:
①若用An-1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长,则A0A1=______,An-1 An=____________;
②是否存在经过点A1(b1,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.
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某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价(元) | x |
销售量y(件) | |
销售玩具获得利润w(元) | |
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B的坐标为
,与y轴交于点
,顶点为D。
(1)求抛物线的解析式及顶点D坐标;
(2)联结AC、BC,求∠ACB的正切值;
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如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数y=的图像经过B、C两点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数的图像探索:当y>0时x的取值范围.
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某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在5~50之间,每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例,在营销过程中得到了表格中的数据,
薄板的边长(cm) | 20 | 30 |
出厂价(元/张) | 50 | 70 |
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如图在平面直角坐标系内,以点C(1,1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A、B两点,开口向下的抛物线经过A、B两点,且其顶点P在⊙C上。
(1)写出A、B两点的坐标;
(2)确定此抛物线的解析式;
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在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象过A(-1,-2)、B(1,0)两点.
(1)求此二次函数的解析式并画出二次函数图象;
(2)点P(t,0)是x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线交直线AB于点M,交二次函数的图象于点N.当点M位于点N的上方时,直接写出t的取值范围.
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