Question

14．已知，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=18cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中．
①已知点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒6cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为x、y（单位：cm，xy≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求x与y满足的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）首先证明△AOE≌△COF，即可证明OF=OE，则可以证明四边形AECF是菱形，设边长是x，在直角△ABF中利用勾股定理即可列方程求解；
（2）①当P点在AF上时，Q点在CD上以及P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据PC=AQ即可求得；
②以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上，分成当P点在AF上、Q点在CE上时，当P点在BF上、Q点在DE上时以及当P点在AB上、Q点在CD上时三种情况进行讨论即可求解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{OA=OC}\\{∠AEF=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形；
设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（18-x）cm
在Rt△ABF中，6²+（18-x）²=x²
解得x=10．
∴AF=10cm；
（2）解：①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形．
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒6cm，运动时间为t秒，
∴PC=10t，QA=24-6t，
∴10t=24-6t，解得$t=\frac{3}{2}$．
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，$t=\frac{3}{2}$秒．

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，x=24-y，即y=24-x；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，24-y=x，即y=24-x；

iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，24-x=y，即y=24-x．

综上所述，x与y满足的函数关系式是y=24-x．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，正确理解以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形的条件是解决本题的关键．