Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点．     
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）当四边形MENF是正方形时，求证：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．

Answer 1

分析：（1）证明△ABM≌△DCM，可得BM=CM，然后根据EN、FN是△BMC的中位线，可得EN=FN=FM=EM，继而判断四边形MENF是菱形；
（2）首先判断MN是等腰梯形ABCD的高，然后利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半，证明结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，

AM=DM ∠A=∠D AB=DC

∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM，
∵点E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，
∴EN=

1

2

CM，FN=

1

2

BM，ME=

1

2

BM，MF=

1

2

CM，
∴EN=FN=FM=EM，
∴四边形MENF是菱形．

（2）连结MN，
∵BM=CM，BN=CN，
∴MN⊥BC，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
∴MN是梯形ABCD的高，
又∵四边形MENF是正方形，
∴△BMC为直角三角形，
又∵N是BC的中点，
∴MN=

1

2

BC，
即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．

点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质及直角三角形斜边中线的性质，涉及的知识点较多，关键是各知识点的熟练掌握．