如图.在直角坐标系中.抛物线y=x2-3x与经过点B(0.6)的直线相交于x轴上点A(3.0).P为线段AB上一动点(P点横坐标为t.且与点A.B不重合).过P作x轴垂线.交抛物线于Q点.连接OP.OQ.QA．(1)写出直线AB表达式,(2)求t为何值时.△POQ为等腰直角三角形,(3)设四边形APOQ面积为S．求S与t的函数关系式.并求S的整数值的个数．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•宁德）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x²-3x与经过点B（0，6）的直线相交于x轴上点A（3，0），P为线段AB上一动点（P点横坐标为t，且与点A、B不重合），过P作x轴垂线，交抛物线于Q点，连接OP，OQ，QA．
（1）写出直线AB表达式；
（2）求t为何值时，△POQ为等腰直角三角形；
（3）设四边形APOQ面积为S．求S与t的函数关系式，并求S的整数值的个数．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点是（-

，

4ac-b2

），对称轴是直线x=-

．

分析：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B代入计算求出k与b的值，即可确定出直线AB解析式；
（2）若三角形POQ为等腰直角三角形，根据题意得到|PQ|=2t，将x=t代入直线AB解析式求出P纵坐标，将x=t代入抛物线解析式求出Q纵坐标，两纵坐标相减的绝对值即为|PQ|，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；
（3）四边形APOQ的对角线互相垂直，由OA与PQ乘积的一半表示出S与t的关系式，求出S的整数值个数即可．

解答：解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，6）代入得：

3k+b=0

b=6

，
解得：

k=-2

b=6

，
则直线AB解析式为y=-2x+6；

（2）将x=t代入直线AB解析式得：y=-2t+6；
将x=t代入抛物线y=x²-3x解析式得：y=t²-3t，
∴|PQ|=-2t+6-t²+3t=-t²+t+6，
若△POQ为等腰直角三角形，则有2t=-t²+t+6，即t²+t-6=0，
解得：t=2或t=-3（舍去），
则t=2时，△POQ为等腰直角三角形；

（3）∵OA⊥PQ，
∴S=

|OA|•|PQ|=

×3×（-t²+t+6）=-

t²+

t+9，
∵0＜S＜9

，∴S的整数值可能为1，2，3，4，5，6，7，8，9
当S=1，2，3，4，5，6，7，8，9时，求出的t值在范围0＜t＜3中，
∴S的整数值有9个．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，对角线互相垂直的四边形面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．

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