Question

如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，EF⊥AE．
求证：（1）△ADE∽△ECF；
（2）BF=3FC；
（3）EF平分∠AFC．

Answer 1

分析：（1）利用互余关系证明∠EFC=∠AED，又有∠ADE=∠FCE=90°，可证△ADE∽△ECF；
（2）由（1）的相似得CF：CE=DE：DA=1：2，可得CF=

1

2

CE=

1

4

CD，得出结论；
（3）延长FE交AD的延长线于G，根据EG=EF，EF⊥AE，得AE垂直平分FG，根据垂直平分线的性质证明结论．

解答：证明：（1）∵∠ADE=∠FCE=90°，又AE⊥EF，
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°，
又∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠AED，
∴△ADE∽△ECF；

（2）∵CE=ED，CD=BC，
由（1）得CF：CE=DE；DA=1：2，∴CF=

1

2

CE=

1

4

CD
从而CF：CB=1：4．
∴BF=3CF．

（3）延长FE交AD的延长线于G．
∵∠GDE=∠ECF=90°，∠DEG=∠FEC，又DE=EC，
∴△DEG≌△CEF，
∴∠G=∠EFC，
而EF⊥AE，且EG=EF，
∴AE是FG的垂直平分线，
∴AF=AG，
即∠AFE=∠G=∠EFC，
∴EF平分∠AFC．

点评：本题考查了相似三角形、全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质及正方形的性质．关键是利用互余关系证明相似三角形，利用作辅助线构造全等三角形．