Question

12．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO=m，BO=n，且m、n满足n²-12n+36+|n-2m|=0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点D为AB中点，求OE的长；
（3）如图2，若点P（x，-2x+6）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质，得出方程（n-6）²=0，|n-2m|=0，求得m=3，n=6，即可得到A、B两点的坐标；
（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG=DF，连接BG，构造全等三角形，再根据BG=BE列出关于x的方程，即可求得OE的长；
（3）分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），构造全等三角形，再根据F点的横坐标与纵坐标相等，得出方程m+2x-6=m+x，解得：x=6，即可得到点P为（6，-6）．

解答 解：（1）∵n²-12n+36+|n-2m|=0，
∴（n-6）²+|n-2m|=0，
∵（n-6）²≥0，|n-2m|≥0，
∴（n-6）²=0，|n-2m|=0，
∴m=3，n=6，
∴点A为（3，0），点B为（0，6）；

（2）如图，延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG=DF，连接BG，
设OE=x，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
∵DE∥OC，
∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°，
∴OE=OF=x，
在△ADF和△BDG中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\∠ADF=∠BDG\\ DF=DG\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDG（SAS），
∴BG=AF=3+x，∠G=∠AFE=45°，
∴∠G=∠BEG=45°
∴BG=BE=6-x
∴6-x=3+x，
解得：x=1.5，
∴OE=1.5；

（3）分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，
设点E为（0，m），
∵点P的坐标为（x，-2x+6），
∴PN=x，EN=m+2x-6，
∵∠PEF=90°，
∴∠PEN+∠FEM=90°，
∵FM⊥y轴，
∴∠MFE+∠FEM=90°，
∴∠PEN=∠MFE，
在△EFM和△PEN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠MFE=∠PEN\\∠FME=∠PNE\\ EF=EP\end{array}\right.$，
∴△EFM≌△PEN（AAS），
∴ME=NP=x，FM=EN=m+2x-6，
∴点F为（m+2x-6，m+x），
∵F点的横坐标与纵坐标相等，
∴m+2x-6=m+x，
解得：x=6，
∴点P为（6，-6）．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行计算求解．解题时注意方程思想的运用．