Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2＝ABAD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．

（1）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，求证：△DAC∽△CAB．

（2）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，则∠DAB＝ °

（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D＝90°，求AD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）120°；（3）

【解析】

（1）先判断出，即可得出结论；
（2）由已知条件可证得△ADC∽△ACB，得出D=∠4，再由已知条件和三角形内角和定理得出∠1+2∠1=180°，求出∠1=60°，即可得出∠DAB的度数；
（3）由已知得出AC2=ABAD，∠DAC=∠CAB，证出△ADC∽△ACB，得出∠D=∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，即可得出AD的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，

∴AC2＝ABAD，

∴，

∵∠DAB为“可分角”，

∴∠CAD＝∠BAC，

∴△DAC∽△CAB；

（2）解：如图所示：

∵AC平分∠DAB，

∴∠1＝∠2，

∵AC2＝ABAD，

∴AD：AC＝AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D＝∠4，

∵∠DCB＝∠DAB，

∴∠DCB＝∠3+∠4＝2∠1，

∵∠1+∠D+∠3＝∠1+∠4+∠3＝180°，

∴∠1+2∠1＝180°，

解得：∠1＝60°，

∴∠DAB＝120°；

故答案为：120；

（3）解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，

∴AC2＝ABAD，∠DAC＝∠CAB，

∴AD：AC＝AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D＝∠ACB＝90°，

∴AB＝，

∴AD＝ .

故答案为.