Question

【题目】如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，

（1）若，则______；若，则______；

（2）①猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；

②应用：当的余角的4倍等于时，则是______度

（3）拓展：如图（2），若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小又有何关系，直接写出结论不必证明．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①猜想得（或与互补），理由见解析；②30；（3）

【解析】

（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；
（2）①根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；②根据①中的关系式以及的余角的4倍等于列出关于∠DCE的方程，求出∠DCE的度数，最后得出∠BCD的度数即可；
（3）根据（1）（2）解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明．

解：（1）∵∠ECB=90°，∠DCE=35°
∴∠DCB=90°-35°=55°
∵∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=145°．
∵∠ACB=140°，
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=140°-90°=50°．
∴∠DCE=∠ECB-∠DCB=90°-50°=40°，
故答案为：145°，40°
（2）①猜想得∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）
理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∠DCE=∠ECB-∠DCB=90°-∠DCB
∴∠ACB+∠DCE=180°．

②根据题意得，4（90°-∠DCE）=∠ACB，又由①得，∠ACB=180°-∠DCE，

∴4（90°-∠DCE）=180°-∠DCE，解得∠DCE=60°．

∴∠BCD=90°-∠DCE=30°．

故答案为：30°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°．理由如下：

由于∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，
故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°．