Question

11．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，如图1所示，先将△ABC进行第一次折叠，使点B落在AC边上的点B′处，且EB′⊥AC，折痕为DE，然后如图2所示，将△ABC进行第二次折叠，使点A落在BC边上的A′处，且A′与点D重合，折痕为FG，则FG的长为$\frac{63\sqrt{21}-98\sqrt{3}}{167}$．

Answer 1

分析 根据垂直的定义得到∠EB′A=90°，根据平行线的性质得到∠DBB′=∠EB′B，根据平行线的性质得到∠DB′C=∠A=30°，求得BD=DB′=2CD，得到CD=1，由折叠的性质得到DF=AF，得到CF=4-AF，根据勾股定理得到AF=$\frac{14\sqrt{3}}{9}$，连接AD交GF于O，根据勾股定理得到AO=$\sqrt{7}$，OF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，过G作GH⊥AC于H，设GH=x，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵EB′⊥AC，
∴∠EB′A=90°，
∴∠C=∠EB′A，
∴BC∥EB′，
∴∠DBB′=∠EB′B，
∴∠DB′B=∠BB′E，
由折叠的性质得到BD=B′D，BE=B′E，
∴∠EBB′=∠EB′B，
∴∠DB′B=∠EBB′，
∴BE∥DB′，
∴∠DB′C=∠A=30°，
∴BD=DB′=2CD，
∴CD=1，
∵将△ABC进行第二次折叠，使点A落在BC边上的A′处，且A′与点D重合，
∴DF=AF，
∴CF=4-AF，
∵CD²+CF²=DF²，
∴1²+（3$\sqrt{3}$-AF）²=AF²，
∴AF=$\frac{14\sqrt{3}}{9}$，
连接AD交GF于O，
∴GF垂直平分AD，
∴AD=2AO=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AO=$\sqrt{7}$，
∴OF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，
过G作GH⊥AC于H，
则△GFH∽△AFO，
∴$\frac{GH}{AO}=\frac{FH}{OF}$，
设GH=x，
∵∠CAB=30°，
∴AH=$\sqrt{3}$x，
∴FH=$\frac{14\sqrt{3}}{9}$-$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{x}{\sqrt{7}}$=$\frac{\frac{14\sqrt{3}}{9}-\sqrt{3}x}{\frac{7\sqrt{3}}{9}}$，
∴x=$\frac{63-7\sqrt{7}}{37}$，

∴$\frac{\frac{63-7\sqrt{7}}{37}}{\sqrt{7}}$=$\frac{FG}{\frac{14\sqrt{3}}{9}}$，
∴FG=$\frac{63\sqrt{21}-98\sqrt{3}}{167}$．
故答案为：$\frac{63\sqrt{21}-98\sqrt{3}}{167}$．

点评 本题考查翻折变换、直角三角形30度角性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．