Question

11．如图，一次函数y=kx+b的图象与x，y轴分别交于A（2，0）和B（0，8）点C，D分别在OA，AB上，且C（1，0），D（1，m）．
（1）直接写出该函数的表达式和m的值．
（2）若P为OB上的一个动点，试求PC+PD的最小值．
（3）连接CD，若P为y轴上的一动点，△PCD为等腰三角形，试求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出函数解析式，代入法求出m的值，即可解答；
（2）设点C关于点O的对称点为C′，连接C′D交OB于P，则PC=PC′，PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．连接CD，在Rt△DCC′中，由勾股定理求得C′D的值，即可解答；
（3）△PCD为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当PC=PD时，P在CD的垂直平分线上，与y轴交点即为点P；
②当CP=CD时，CP=2，以C为圆心，2为半径画弧，与y轴交于两点；
③当DP=CD时，以D为圆心，2为半径画弧，与y轴交于两点；共5个解．

解答 解：（1）把A（2，0）和B（0，8）代入一次函数y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=8}\end{array}\right.$
则一次函数解析式为y=-4x+8，
把D（1，m）代入y=-4x+8得：
m=-4+8=4．
（2）如图1，

∵点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵点D的坐标为（1，4），
连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b，
有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=2x+2是DC′的解析式，
∵x=0，∴y=2，
即P（0，2）．
∵PC+PD的最小值=C′D，
∴CD=3，CC′=2，
由勾股定理得C′D=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{13}$．
（3）△PCD为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当PC=PD时，P在CD的垂直平分线上，与y轴交点即为点P，坐标为（0，2）；
②当CP=CD时，CP=4，以C为圆心，4为半径画弧，与y轴交于两点，坐标分别为（0，$\sqrt{15}$），（0，-$\sqrt{15}$）；
③当DP=CD时，以D为圆心，4为半径画弧，与y轴交于两点，坐标分别为（0，4+$\sqrt{15}$），（0，4-$\sqrt{15}$）；
综上所述：当△PCD为等腰三角形时，点P坐标为（0，1）或（0，$\sqrt{15}$），或（0，-$\sqrt{15}$），或（0，4+$\sqrt{15}$），或（0，4-$\sqrt{15}$）

点评 本题考查了一次函数的综合应用及最短路线问题，用到的知识点是待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短的定理以及勾股定理的运用，本题有一定的难度，注意第（3）问点P有五种情况，不要漏项．