Question

10．已知一次函数y=kx-2k+3（k＜0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）无论k（k＜0）为何值时，直线AB都经过一定点H，请写出点H的坐标；
（2）如图，当k=-1时，直线y=mx交直线AB于点P，若点C的坐标是（0，$\frac{13}{5}$），且满足∠CPO=45°，求m的值；
（3）设原点O到直线AB的距离是d，求d的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据y=kx-2k+3=y=k（x-2）+3，可得当x=2时，y=3，所以无论k（k＜0）为何值时，直线AB都经过一定点（2，3），即点H的坐标是（2，3）．
（2）首先根据k=-1，可得y=kx-2k+3=-x+5，再联立y=mx，求出点P的坐标是多少，进而求出PC所在直线的斜率的值是多少；然后根据∠CPO=45°，求出m的值是多少即可．
（3）首先根据点到直线的距离的求法，求出d的值是多少；然后根据k＜0，方程有负实数解，求出d的最小值是多少即可．

解答 解：（1）∵y=kx-2k+3=y=k（x-2）+3，
∴当x=2时，y=3，
∴点H的坐标是（2，3）．

（2）当k=-1时，
y=kx-2k+3=-x+5，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=mx}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{m+1}}\\{y=\frac{5m}{m+1}}\end{array}\right.$，
即点P的坐标是（$\frac{5}{m+1}，\frac{5m}{m+1}$），
∴PC所在直线的斜率是：
$\frac{\frac{5m}{m+1}-\frac{13}{5}}{\frac{5}{m+1}-0}$=$\frac{12m-13}{25}$
∵∠CPO=45°，
∴tan45°=$\frac{m-\frac{12m-13}{25}}{1+m×\frac{12m-13}{25}}$
=$\frac{13m+13}{1{2m}^{2}-13m+25}$
=1
∴6m²-13m+6=0，
解得m=$\frac{2}{3}$或m=$\frac{3}{2}$．

（3）∵y=kx-2k+3，
∴d=$\frac{|3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{3-2k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴d²（k²+1）=（3-2k）²，
∴（d²-4）k²+12k+d²-9=0，
∵k＜0，方程有负实数解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{12}^{2}-4{（d}^{2}-4）{（d}^{2}-9）≥0}\\{-\frac{12}{2{（d}^{2}-4）}＜0}\\{{d}^{2}-9≥0}\end{array}\right.$
整理，可得
9≤d²≤13，
∴d的最小值是3．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了点的坐标的含义以及求法，以及两条直线的夹角的性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了点到直线的距离公式，要熟练掌握．