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已知△ABC中,BC=4,A是三角形中的一个动点.
(1)若∠BAC=90°,请求出当AB,AC各取多少时,△ABC面积最大,并求出这个最大面积;
(2)若∠BAC=45°,请说明三角形面积是否存在最大值.如果有,请求出这个最大面积;如果没有,请说明理由;
(3)若∠BAC=60°,请说明三角形面积是否存在最大值.如果有,请求出这个最大面积;如果没有,请说明理由.
考点:面积及等积变换
专题:
分析:(1)利用BC为直径作⊙O,可得出当AB=AC=2
2
时,△ABC面积最大,利用S△ABC=
1
2
•BC•AO求解即可.
(2)利用BC为一条弦作⊙O,且∠BAC=45°,当AD⊥BC且过O时,△ABC面积最大,运用S△ABC=
1
2
•BC•AD求解即可.
(3)利用BC为一条弦作⊙O,且∠BAC=60°,当AD⊥BC且过O时,△ABC面积最大,利用S△ABC=
1
2
•BC•AD求解即可.
解答:解:(1)如图1,以BC为直径作⊙O,

∵∠BAC=90°,
∴当AB=AC=2
2
时,△ABC面积最大,
∴S△ABC=
1
2
•BC•AO=
1
2
×4×2=4.
(2)如图2,以BC为一条弦作⊙O,且∠BAC=45°,

当AD⊥BC且过O时,△ABC面积最大,
S△ABC=
1
2
•BC•AD=
1
2
×4×
BD
tan22.5°
=2×
2
tan22.5°
=
4
tan22.5°

(3)如图3,以BC为一条弦作⊙O,且∠BAC=60°,

当AD⊥BC且过O时,△ABC面积最大,
S△ABC=
1
2
•BC•AD=
1
2
×4×2
3
=4
3
点评:本题主要考查了面积及等积变化,解题的关键是利用同弦所对的圆周角相等来说明三角形的变化情况.确定△ABC面积最大的情况.
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阅读材料并解答问题:我们已经知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图①或图②等图形的面积表示.

(1)请写出图③所表示的代数恒等式:
 

(2)仿照图①、图②、图③,试画一个图形,解释代数式a2+3ab+2b2因式分解后的结果;
(3)我们学过课题《面积与代数恒等式》,请仿照我们学过的方法验证一个含有a,b(其中a>0,b>0)的代数恒不等式a(a+2b)>2ab成立,画出与之对应的几何图形,并写出验证过程.

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计算:
(1)-14-
1
6
×-3+(-3)2

(2)(
1
2
-
1
3
)÷(-
1
6
)+(-2)2×(-14)

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3
x+2
)÷
x2-1
x+2
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计算及解方程
(1)12-(-18)+(-7)-15
(2)1.25×(-2)3-[(-4)÷(-
2
3
2+1]+(-1)2009
(3)2a-5b+3a+b
(4)3(2a2b-ab2)-4(ab2-3a2b)
(5)3(20-y)=6y-4(y-11)
(6)
3x-1
4
-1=
5x-7
6

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解方程组:
(1)
3x+y=11
7x-3y=15

(2)
m+n
2
-
m-n
3
=4
m+n
3
-
m-n
4
=-1

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已知甲、乙两人合作一项工程,甲25天独立完成全部工程,乙20天独立完成,甲乙两人合作5天后,甲另有事,乙再单独做几天才能完成?

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3
,c=8
3
,解这个直角三角形.

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