Question

【题目】（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为_______．

（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE:EC=3:4．点F在线段AE上，且∠EFD =∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）AB+CD=AD；（2）详见解析；（3）AB=(CD+DF ) ．

【解析】

（1）结论：AB+CD=AD．只要证明△CEF≌△BEA（AAS），推出AB=CF，再证明DA=DF即可解决问题．

（2）结论：AB=AF+CF．只要证明△CEG≌△BEA（AAS），推出AB=CG，再证明FA=FG即可解决问题．

（3）结论：AB=（CD+DF）．如图3中，延长AE交CD的延长线于G．证明△CEG∽△BEA，推出AB=CG，再证明DF=DG即可解决问题．

（1）结论：AB+CD=AD．

理由：如图1中，

∵AB∥CF，∴∠CFE=∠EAB，

∵CE=EB，∠CEF=∠AEB，∴△CEF≌△BEA（AAS），

∴AB=CF．

∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠EAB，

∵∠EAB=∠CFE，∴∠DAF=∠DFA，

∴AD=DF，

∵DF=DC+CF=CD+AB，

∴AB+CD=AD．

故答案为： AB+CD=AD．

（2）结论：AB=AF+CF

延长AE交DC的延长线于点G．

∵ AB∥CD， ∴ ∠EAB=∠G， ∠B=∠BCG．

又 E是BC的中点， ∴ BE=CE．

∴ △ABE≌△GCE，∴ AB=CG．

∵ AE是∠BAF的平分线，

∴ ∠EAB=∠FAE， ∴ ∠G=∠FAE．

∴ AF=FG， ∴ CG=CF+FG= CF+AF．

∴ AB=AF+CF．

（3）结论：AB=(CD+DF ) ．

如图3中，延长AE交CD的延长线于G．

∵CG∥AB，

∴△CEG∽△BEA，

∴ ，

∵∠G=∠A，

∴AB=CG，

∵∠DFE=∠A，

∴∠DFG=∠G，

∴DF=DG，

∴CD+DF=CD+DG=CG，

∴AB=（CD+DF）．