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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
    （1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
    （2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？
    （3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=
    1
    2
    S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
    考点：相似形综合题
    专题：动点型
    分析：（1）运用
    OE
    AB
    =
    OF
    BO
    和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．
    （2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．
    （3）根据S△AEF=S梯形ABOF-S△FOE-S△ABE以及S四边形AEOF=S梯形ABOF-S△ABE可得到S△AEF与S四边形AEOF关于t的表达式，进而可求出t的值．
    解答：解：（1）∵t=1，
    ∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
    ∵AB=3厘米，OB=4厘米，
    ∴
    OE
    AB
    =
    1.5
    3
    =
    1
    2
    ，
    OF
    BO
    =
    2
    4
    =
    1
    2

    ∵∠MON=∠ABE=90°，
    ∴△EOF∽△ABO．

    （2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．
    ∵AB=3，OB=4．
    ∴
    OE
    AB
    =
    OF
    OB
    ．
    又∵∠EOF=∠ABO=90°，
    ∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
    ∴∠AOB=∠EFO．
    ∵∠AOB+∠FOC=90°，
    ∴∠EFO+∠FOC=90°，
    ∴EF⊥OA．

    （3）如图，连接AF，

    ∵OE=1.5t，OF=2t，
    ∴BE=4-1.5t
    ∴S△FOE=
    1
    2
    OE•OF=
    1
    2
    ×1.5t×2t=
    3
    2
    t2，
    S△ABE=
    1
    2
    ×（4-1.5t）×3=6-
    9
    4
    t，
    S梯形ABOF=
    1
    2
    （2t+3）×4=4t+6，
    ∴S△AEF=S梯形ABOF-S△FOE-S△ABE=4t+6-
    3
    2
    t2-（6-
    9
    4
    t）=-
    3
    2
    t2+
    25
    4
    t，
    S四边形AEOF=S梯形ABOF-S△ABE=4t+6-（6-
    9
    4
    t）=
    25
    4
    t，
    ∵S△AEF=
    1
    2
    S四边形AEOF
    ∴-
    3
    2
    t2+
    25
    4
    t=
    1
    2
    ×
    25
    4
    t，（0＜t＜
    8
    3
    ）
    解得t=
    25
    12
    或t=0（舍去）．
    ∴当t=
    25
    12
    时，S△AEF=
    1
    2
    S四边形AEOF．
    点评：本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△AEF=
    1
    2
    S四边形AEOF求t的值．
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    b
    a
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    1
    3
    )-1-(2-
    		3
    )0-4sin30°+
    		12
    ；
    （2）计算：1-
    a2-9
    a2+6a+9
    ÷
    3
    a+3
    ．

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    		3
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    ．

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