[题目]如图.在平面直角坐标系中.抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左边).与y轴交于点C．点P为抛物线上一动点.过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q.P.Q两点之间的距离为m．(1)求直线BC的解析式,(2)取线段BC的中点M.连接PM．当m最小时.判断以点P.O.M.B为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形.并说明理由,(3)设N为y轴上一点.在(2)的基础上.当∠OBN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P为抛物线上一动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，P、Q两点之间的距离为m．

（1）求直线BC的解析式；

（2）取线段BC的中点M，连接PM．当m最小时，判断以点P、O、M、B为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；

（3）设N为y轴上一点，在（2）的基础上，当∠OBN＝2∠OBP时，求点N的坐标．

【答案】（1）；（2）以点P，O，M，B为顶点的四边形是菱形；（3）点N的坐标为（0，）或（0，－）．

【解析】试题分析：

（1）由抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C可求得A、B、C三点的坐标，再由B、C的坐标即可求得直线BC的解析式为：；

（2）由PQ∥BC可设直线PQ的解析式为，由m最小时，点P与点Q重合，可知此时直线与抛物线只有一个交点，由此可求得n的值，进而可解得此时点P的坐标，结合点M、O、B的坐标即可判断四边形BMOP是菱形；

（3）由四边形BMOP是菱形可知∠MBO ＝∠OBP，此时，若点N在x轴上方，则由∠OBN＝2∠OBP，可得∠OBC＝∠CBN，如下图，作CE⊥BN于点E，证△NCE∽△NBO，结合其它已知条件即可求得ON的长，从而得到点N的坐标；利用对称性即可得到点N在x轴下方时的坐标.

试题解析：

（1）在中令y＝0，则，

解得：x1＝1，x2＝4；令x=0，则y=2；

∴A（1，0），B（4，0），C（0，2）；

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则，解得：，

∴直线BC的解析式．

（2）以点P，O，M，B为顶点的四边形是菱形，理由如下：

∵m取最小值时P，Q两点重合，

∴此时直线PQ与抛物线只有一个交点，

由PQ∥BC可设直线PQ的解析式为，

由，得，

∵PQ和抛物线此时只有一个交点，

∴△＝，解得n＝0，

∴此时直线PQ的解析式为，方程为，解得：，

∴此时点P的坐标为：（2，－1）．

∵点M为Rt△BOC的斜边BC的中点，

∴OM＝BM，M的坐标为：（2，1），

∴点P和点M关于x轴对称，

∴PM被x轴垂直平分，

∴OM＝OP，BM＝BP，

∴OM＝OP＝BM＝BP，

∴四边形POMB为菱形．

（3）∵四边形POMB为菱形，∴OB平分∠MBP．∴∠MBO ＝∠OBP．

当点N在x轴上方时，如下图，

∵∠OBN＝2∠OBP，

∴∠OBC＝∠CBN．

作CE⊥BN，垂足为E．∵∠COB＝90，

∴CE＝CO＝2，易得BO＝BE＝4，△NCE∽△NBO，

∴．即，

∴NC＝，

∴NO＝，

∴当点N在x轴上方时，点N的坐标为（0，）．

根据对称性可得，当点N在x轴下方时，点N的坐标为（0，－）．

综上所述：点N的坐标为（0，）或（0，－）．

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