Question

13．如图，在菱形ABCD中，AB=4，取CD中点O，以O为圆心OD为半径作圆交AD于E，交BC的延长线交于点F，
（1）若cos∠AEB=$\frac{2}{3}$，则菱形ABCD的面积为8$\sqrt{5}$；
（2）当BE与⊙O相切时，AE的长为6-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）作BG⊥AD于G，连接CE，根据圆周角定理得出∠CED=90°，即CE⊥AD，进而证得四边形BCEG是矩形，得出GE=BC=4，解直角三角形求得BE=6，然后根据勾股定理求得BG，根据四边形的面积公式即可求得菱形的面积；
（2）连接OE，根据切线的性质得出FE⊥BE，即可得出∠BEG=∠CEO，进而求得∠ECD=∠GEB，通过解直角三角形得出$\frac{ED}{CE}$=$\frac{BG}{GE}$，由GE=AD，得出AG=ED，设BG=CE=a，得出$\frac{a}{4}$=$\frac{4-AE}{a}$，通过变形得出AE²-12AE+16=0，解一元二次方程求得即可．

解答 解：（1）作BG⊥AD于G，连接CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD=4，AD∥BC，
∵CD是直径，
∴∠CED=90°，
∴CE⊥AD，
∴BG∥CE，
∴四边形BCEG是矩形，
∴GE=BC=4，
∵cos∠AEB=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{GE}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$×4=6，
∴BG=$\sqrt{B{E}^{2}-G{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴菱形ABCD的面积=AD•BG=4×2$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$；
故答案为8$\sqrt{5}$；
（2）连接OE，
∵BE与⊙O相切，
∴FE⊥BE，
∴∠BEG=∠CEO，
∵OE=OC，
∴∠DCE=∠CEO，
∴∠ECD=∠GEB，
∴$\frac{ED}{CE}$=$\frac{BG}{GE}$，
∵GE=AD，
∴AG=ED，
设BG=CE=a，
∴$\frac{a}{4}$=$\frac{4-AE}{a}$，
∴16-a²=4AE，
∴AG²=4AE，即（4-AE）²=4AE，
∴AE²-12AE+16=0，
解得AE=6-2$\sqrt{5}$或AE=6+2$\sqrt{5}$（不合题意，舍去），
故答案为6-2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了菱形的性质，切线的性质，勾股定理的应用，解直角三角形等，熟练掌握性质定理，正确作出辅助性是解题的关键．