Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根;
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根。并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

Answer 1

【答案】
（1）

解：由判别式可得(m+2)2-4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4= m2-4m+8=(m-2)2+4>0.

所以方程恒有两个不相等的实数根。

（2）

解：把x=1代入方程可得1-(m+2)+(2m-1)=0，解得m=2，

把m=2代入方程可整理得x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3.

当1和3都是直角边的边长时，斜边长为 ，周长为4+ 。

当3是斜边长时，另一条边长是 ，周长为4+ 。

【解析】（1）方程的解与根的判别式有关，求出判别式的范围，再判断根的情况；（2）由于方程中有个未知数m，可以将x=1代入方程先求出m的解；再将m的值代入，解出一元二次方程的两个解，则分类讨论两个解分别是直角边还是斜边，求出第三条边，写出周长。
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根．