Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0）、B（0，2），C的圆心为点C（-2，0），半径为2．若D是C上一动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE的面积s的取值范围是2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤S≤2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先根据当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，连接CD，则CD⊥AD，再求出A、B两点的坐标，再根据勾股定理求出AD，从而得出S_△ACD，再根据△AOE∽△ADC，求出△ABE的面积，再根据当AD与⊙C相切，且在x轴的下方时，△ABE的面积最大，求出△ABE的面积，即可得出△ABE面积S的取值范围．

解答 解：当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，
连接CD，则CD⊥AD，
∴A、B两点的坐标是（2，0），（0，2），
在Rt△ACD中，CD=2，AC=OC+OA=4；
由勾股定理，得：AD=2$\sqrt{3}$；
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$；
∵△AOE∽△ADC，
∴$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{AO}{AD}$）²=（$\frac{2}{2\sqrt{3}}$）²=$\frac{1}{3}$，
∴S_△AOE=$\frac{1}{3}$S_△ADC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴S_△ABE=S_△AOB-S_△AOE=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
当AD与⊙C相切，且在x轴的下方时，△ABE的面积最大，
连接CD，则CD⊥AD，
则S_△ABE=S_△AOB+S_△AOE=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
则△ABE面积S的取值范围是2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤S≤2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤S≤2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线的性质、勾股定理、相似三角形的性质，关键是根据题意画出图形，求出△ABE的面积的最大值和最小值．