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直线AB平行于x轴,与y轴交于点A(0,a),AB=a,经过原点的抛物线y=-x2+bx经过点B,且与直线AB交于另一点C(在B的左边),抛物线的顶点为P.
(1)求抛物线的解析式(用含a的代数式表示);
(2)用含a的式子表示BC的长;
(3)当a为何值时,△PCB是等腰直角三角形?当a为何值时△PCB是等边三角形?

【答案】分析:(1)先用a表示B点坐标,然后把B点坐标代入抛物线y=-x2+bx,则可用a表示出b;
(2)令y=a,代入(1)中求出的解析式,解方程可得到C点坐标,然后用B点的横坐标减去C点的横坐标即可得到BC的长;
(3)先根据抛物线的顶点公式得到顶点P的坐标,用a表示出AD;当△PCB是等腰直角三角形,根据斜边上的中线等于斜边的一半得到PD=BC;当△PCB是等边三角形,根据等边三角形的高等于边长的倍得到PD=BC,这样得到关于a的两个方程,分别解方程即可得到a的值.
解答:解:(1)∵A(0,a),AB=a,
∴B点坐标为(a,a),
把B(a,a)代入y=-x2+bx得,a=-a2+ba,
∴b=a+1,
∴抛物线的解析式为y=-x2+(a+1)x;

(2)C点的纵坐标为a,令y=a,则a=-x2+(a+1)x,解得x1=1,x2=a,
∴C点坐标为(1,a),
∴BC的长=a-1;

(3)设抛物线的对称轴交AB于D,连PB,PC,如图,
抛物线的解析式为y=-x2+(a+1)x的顶点P的坐标为(),
∴PD=-a=
而BC=a-1,并且PC=PB,
当△PCB是等腰直角三角形,
∴PD=BC,即=(a-1),解得a=3;
当△PCB是等边三角形,
∴PD=BC,即=(a-1),解得a=2+1,
所以当a=3时,△PCB是等腰直角三角形;当a=2+1时△PCB是等边三角形.
点评:本题考查了点在二次函数图象上,则点的横纵坐标满足其解析式以及二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-).也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质.
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