Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知弦CD⊥AB于E点，PC=3

3

，PB=3，求CD长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）由OA=OC得∠A=∠ACO，再利用三角形外角性质得∠COB=∠A+∠ACO，则∠COB=2∠ACO，由于∠COB=2∠PCB，则∠ACO=∠PCB，接着根据圆周角定理得到∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，所以∠PCB+∠OCB=90°，然后可根据切线的判定定理得到PC是⊙O切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OB=r，所以OP=r+3，在Rt△PCO中利用勾股定理得到，r²+（3

3

）²=（r+3）²，解得r=3，再利用面积法克计算出CE=

3 3

2

，然后根据垂径定理由CD⊥AB即可得到CD=2CE=3

3

．

解答：解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠COB=∠A+∠ACO，
∴∠COB=2∠ACO，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OB=r，所以OP=r+3，
在Rt△PCO中，∵OC²+PC²=OP²，
∴r²+（3

3

）²=（r+3）²，解得r=3
∴OC=3，OP=6，
∵

1

2

CE•OP=

1

2

OC•PC，
∴CE=

3×3 3

6

=

3 3

2

，
∵CD⊥AB，
∴CD=2CE=3

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和勾股定理．