Question

如图，已知在△ABC中，若AC和BC边的长是关于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的两个根，且25BC•sinA=9AB．求△ABC三边的长？

Answer 1

分析：首先由根与系数的关系可以得到AC+BC=AB+4（1），AC•BC=4AB+8（2），然后由（1）²-2（2）得AC²+BC²=AB²，
然后利用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，且∠C=90°，接着利用三角函数可以得到

BC

AB

=sinA，
由25BC•sinA=9AB可以得到sinA•

BC

AB

=

9

25

，然后就可以求出sinA=

3

5

，也就求出

BC

AB

=

3

5

，设BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，这样利用（1）即可解决问题．

解答：解：依题意得：AC+BC=AB+4（1）
AC•BC=4AB+8（2），
由（1）²-2（2）得：AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
在Rt△ABC中，

BC

AB

=sinA，
由题意得：sinA•

BC

AB

=

9

25

，
∵∠A是Rt△ABC的锐角，
∴sinA＞0，
∴sinA=

3

5

，
∴

BC

AB

=

3

5

，
设BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，
结合（1）式得4k+3k=5k+4，解之得：k=2．
∴BC=6，AB=10，AC=8．

点评：此题分别考查了根与系数的关系、勾股定理及逆定理、三角函数等知识，综合性比较强，解题的关键是利用根与系数的关系和勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形．