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    2．如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且OC=2OB．
    （1）求B点坐标和k值；
    （2）若点A（x，y）是直线y=kx-1上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；并写出自变量x的取值范围；
    （3）探究：
    ①当A点运动到什么位置时，△AOB的面积为$\frac{1}{4}$；
    ②在①成立的情况下，y轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）将x=0代入直线的解析式得到y=-1，故此OC=1，从而得到点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），将点B的坐标代入y=kx-1可求得k=2；
    （2）如图1所示：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．先求得直线的解析式y=2x-1，然后利用三角形的面积公式可得到S=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$（x$＞\frac{1}{2}$）；
    （3）①令S=$\frac{1}{4}$解得x=1，于是可求得A（1，1）；
    ②可根据AP=AO、PA=PO、OP=OA三种情况画图求解即可．

    解答 解：（1）∵将x=0代入得：y=-1，
    ∴点C的坐标为（0，-1）．
    ∴OC=1．
    ∵OC=2OB，
    ∴OB=$\frac{1}{2}$．
    ∴点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）．
    将点B的坐标代入y=kx-1得；$\frac{1}{2}k-1=0$．
    解得：k=2．
    （2）如图1所示：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

    ∵k=2，
    ∴直线的解析式为y=2x-1．
    ∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}OB•AD$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（2x-1）$=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$．
    ∴S=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$（x$＞\frac{1}{2}$）．
    （3）①令S=$\frac{1}{4}$得：$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$．
    解得：x=1．
    将x=1代入y=2x-1得：y=1．
    ∴点A的坐标为（1，1）．
    ∴当点A的运动到（1，1）处时，△AOB的面积为$\frac{1}{4}$．
    ②∵点A的坐标为（1，1），
    ∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
    当AP=AO时，如图2所示：过点A作AB⊥y轴，垂足为B．

    ∵AP=AO，AB⊥OP，
    ∴OB=PB．
    ∴点P的坐标为（0，2）．
    当PA=PO时，如图3所示：

    ∵PO=PA=1，
    ∴点P的坐标为（0，1）．
    如图4所示：当OP=OA时，

    ∵OP=OA=$\sqrt{2}$，
    ∴点P的坐标为（0，$\sqrt{2}$）．
    如图5所示：当OP=OA时，

    ∵OP=OA=$\sqrt{2}$，
    ∴点P的坐标为（0，-$\sqrt{2}$）．
    综上所述，点P的坐标为（0，2）或（0，1）或（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）．

    点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用、解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定，根据AP=AO、PA=PO、OP=OA画出符合题意的图形是解题的关键．

    练习册系列答案
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    =（y+2）2+4
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    ∴（y+2）2+4≥4
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