分析 (1)求出∠AEP=∠BEC=90°,根据三角形内角和定理求出∠EBC=∠EAP,根据ASA推出△BCE≌△APE即可;
(2)根据全等得出BC=AP,根据等腰三角形的性质得出BD=$\frac{1}{2}$BC,即可求出答案;
(3)根据线段垂直平分线的性质求出AQ=BQ,求出∠BAE=45°,根据角平分线的定义求出∠BAD=∠ABQ=22.5°,根据三角形外角性质求出∠BQD=45°,即可得出答案.
解答 证明:(1)如图:
∵AD是∠BAC的角平分线,AB=AC,
∴∠BDP=90°,BD=CD,
∵BE⊥AC,
∴∠AEP=∠BEC=90°,
∵在△BPD和△APE中,∠AEP=∠BDP=90°,∠BPD=∠APE,∠PAE+∠PEA+∠APE=180°,∠BDP+∠BPD+∠EBC=180°,
∴∠EBC=∠EAP,
在△BCE和△APE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠EAP}\\{BE=AE}\\{∠BEC=∠AEP}\end{array}\right.$,
∴△BCE≌△APE;
(2)∵△BCE≌△APE,
∴BC=AP,
∵BD=CD,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC,
∴BD=$\frac{1}{2}$AP;
(3)△BDQ是等腰直角三角形,
证明:∵BE=AE,F是AB的中点,
∴EF是线段AB的垂直平分线,
∴AQ=BQ,
∴∠BAQ=∠ABQ,
∵BE=AE,∠BEA=90°,
∴∠BAE=45°,
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD=22.5°,
∵∠BAD=∠ABQ,
∴∠BAD=∠ABQ=22.5°,
∴∠BQD=22.5°×2=45°,
∵∠ADB=90°,
∴△BDQ是等腰直角三角形.
点评 本题考查了全等三角形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质和判定,等腰直角三角形性质的应用,能综合运用定理进行推理是解此题的关键,注意:①全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,②全等三角形的对应角相等,对应边相等.
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